Ефективна и номинална лихва

В източници и учебници на счетоводни теми често се споменава следната формула, обикновено посочена без никакви обяснения за нейния произход:

r = (1+i/n)^n

Играчите тук са:

  • r — тъй нареченият (годишен) ефективен лихвен процент
  • i — тъй нареченият (годишен) номинален лихвен процент
  • n — броят на падежите (в рамките на годината), през които дадената сума се олихвява.

Тук излагам свое пояснение за извеждането и значението на тази формула.

Лихва за един период

Представете си, че даден агент се споразумява с вас да предоставите дадена сума пари P, и в края на определен период да ви върне дадените пари, и освен тях да ви даде още L отгоре.

Например ако дадете P = 100 лв, агентът обещава след година да ви върне тези P = 100 лв заедно с още L = 10 лв. така получавате общо A = P + L = 110 лв.

Обикновено е по-удобно обаче L да не се уговаря директно в сума пари (левове), а в проценти.
Ето такава договорка:
Ако дадете сума P,  в края на годината ще ви върнат сумата P, и към нея ще бъдат добавени още R = 10% от P.
Т.е. в крайна сметка ще получите A = P + R * P.

Да проиграем това в числа:

  • Ако дадете P = 100 лв, ще ви върнат тези P = 100 лв и към тях ще добавят L = R * P, т.е. 10% от P т.е. 0,10 * P, т.е. 0,10 * 100 = 10 лв.
    Общо ше получите сума L = P + (R * P) = 100 лв + (0,10 * 100лв) = 110 лв
  • Ако дадете P = 200 лв, ще ви върнат тези P = 200 лв и към тях ще добавят L = R * P, т.е. 10% от P т.е. 0,10 * P, т.е. 0,10 * 200 = 20 лв.
    Общо ше получите сума L = P + (R * P) = 200 лв + (0,10 * 200лв) = 220 лв
  • И т.н. винаги ще можете да сметнете колко пари А ще получите в края на годината, като знаете колко давате P, и колко процента r ше ви върнат отгоре.

Формулата A = P + (R * P) можем да запишем и така: A = P * (1+R).

Лихва за няколко периода

Нека сме дали на агента сумата P, значи след година сме взимаме общо A1 = P * (1+R).

Годината е изминала, агентът си ни дава нашата сума A1.
И веднага ни предлага същия договор за още една година.
Т.е. ако му дадем сега някаква сума P1, със същото обещание в края на втората година ще получим A2= P1 * (1+R).
Мислим малко и решаваме, че вместо да дадем някакви нови пари, можем да му дадем току-що получената наша сума A1. Така на мястото на новото вложение P1 слагаме току-що придобитата от нас сума A1.
И значи в края на годината ще получим:
A2 = P1 * (1+R)
и понеже за P1 ползваме А1, то:
А2 = А1 * (1+R)
и понеже A1 знаем, че е P * (1+R), то:
А2 = P * (1+R) * (1+R)
или накратко:
A2 = P * (1+R)2

Минава и втората година, получаваме си натрупаната сума A2.
Агентът веднага ни предлага същия договор — да му дадем P2, а в края на третата година да получим:
A3 = P2 * (1+R)
Решаваме като P2 да му дадем току-що придобитата от нас сума A2:
A3 = A2 * (1+R)
т.е.
А3 = P * (1+R)2 * (1+R)
или накратко:
A3 = P * (1+R)3

Забелязваме, че ако продължаваме договора N години, в края на тези N години ще имаме:
AN = P * (1+R)N

Забележете: през цялото време говорим за “година”.
Но всъщност формулите остава в сила дори независимо какъв е периодът.
Как така?

Представете си, че стане чудо и агентът ви предложи такъв договор:
Ако му дадете сума P, той обещава след час да ви върне сума:
A1 = P * (1+R)
Минава час и той наистина ви връща тези пари, и ви предлага същия договор за още един час.
Решавате да му дадете току-що върнатите пари отново и по абсолютно същата логика на втория час получавате сумата
A2 = P * (1+R)2
И ако това чудо продължи N часа, накрая ще имате сумата
AN = P * (1+R)N

Ето два съвсем разписани примера:

  • Ако дадете 100 лв в началото и договорът е да получавате R = 10% отгоре в края на всяка година, тогава:
    в края на година 1 имате 100 * (1 + 0,1) = 110 лв;
    в края на година 2 имате 100 * (1 + 0,1)2 = 121 лв;
    в края на година 3 имате 100 * (1 + 0,1)3 = 133,10 лв;
    в края на година 4 имате 100 * (1 + 0,1)4 = 146,41 лв;
    и т.н.
  • Ако дадете 100 лв в началото и договорът е да получавате R = 10% отгоре в края на всеки час, тогава:
    в края на час 1 имате 100 * (1 + 0,1) = 110 лв;
    в края на час 2 имате 100 * (1 + 0,1)2 = 121 лв;
    в края на час 3 имате 100 * (1 + 0,1)3 = 133,10 лв;
    в края на час 4 имате 100 * (1 + 0,1)4 = 146,41 лв;
    и т.н.

Номинална и ефективна лихва

Емоционално погледнато, да чакате една година за лихвата си — това звучи твърде много.

Вместо това агентите предпочитат да формулират обещанието си по-различно. Вместо да ви обещаят лихвен процент R = 10% за една година, те казват така:
За да не чакате цяла година лихвата L, можем да ви начислим лихва на няколко порции през годината.
Изберете на колко порции n в рамките на годината искате да ви начисляваме лихвата.
Тогава за всяка порция ще ви начисляваме 1/n -та част от нещо, което наричаме номинална процентна стойност за годината i = 10%.

  • T.e. aко искате лихва всеки месец, то ще ви начисляваме 1/12 от 10% (което е малко над 8%) всеки месец.
  • Ако пък искате лихва всяко тримесечие (4 порции в годината), ще ви начисляваме 1/4 от 10% (което е 2,5%) на всеки 3 месеца.
  • Ако пък искате лихва на 2 порции (веднъж в средата на годината и веднъж в края), ще ви начисляваме 1/2 от 10% (което е 5%) на всеки 6 месеца.
  • Ако пък можете да траете цяла година и да получите лихвата в една-единствена порция, на края ще ви начислим наведнъж 1/1 от 10%, което, разбира се, е 10%.

Така банката ви обещава нещо, наречено “номинална годишна лихва”. Но ние можем да намерим каква реална годишна лихва се крие зад това “мъгляво” обещание.

Вече знаем общата формула, че ако имаме даден брой периоди N и процентна лихва R за всеки от периодите, то в края на N-тия период ще получим общо сума:
[1] AN = P * (1+R)N

Когато банката ни предлага на колко порции (колко периода) n да разделим годината, тя ни обещава процентна лихва R = i/n за всеки от периодите. Значи от една страна общата формула [1] се свежда до следната конкретна формула:
[2] Общо в края на годината = за n периода през годината = An = P * (1 + i/n)n

Но как да разберем какъв ще е съвкупният ефект на обещанието в края на годината? За целта можем да си представим една ефективна годишна лихва, да я обозначим с r, която уж бихме получили наведнъж. Тогава общата формула [1] би се свела да следната конкретна формула:

[3] Общо в края на годината = Сякаш наведнъж за 1 година = A1 = P * (1 + r)1

За да намерим ефективната лихва r за цялата година, слагаме крайните части на [2] и [3] в едно уравнение:

P * (1 + i/n)n = P * (1 + r)1
което е:
P * (1 + i/n)n = P * (1 + r)
можем да съкратим ненулевата стойност P от двете страни:
(1 + i/n)n = 1 + r
и така достигаме до:
r = (1 + i/n)n – 1

Последното е именно формулата, която все дават наготово:
r = (1 + i/n)n – 1

За да разберем смисъла, ето примери, когато банката ни обещава номинален лихвен процент i = 10%:

  • Ако искаме да получаваме лихва всеки месец (12 порции в годината), тогава ефективната годишна лихва е r = (1 + 0,10/12)12 – 1 = 0,104713… = 10,47%. Ако дадем 100 лв, в края на годината ще имаме 110,47 лв.
    Обещавайки ни 1/12 от 10% всеки месец, банката реално ще ни е дала 10,47% за цялата година.
  • Ако искаме да получаваме лихва на три месеца (4 порции в годината), тогава ефективната годишна лихва е r = (1 + 0,10/4)4 – 1 = 0,10381… = 10,38%. Ако дадем 100 лв, в края на годината ще имаме 110,38 лв.
    Обещавайки ни 1/4 от 10% на всеки 3 месеца, банката реално ще ни е дала 10,38% за цялата година.
  • Ако искаме да получаваме лихва на 6 месеца (2 порции в годината), тогава ефективната годишна лихва е r = (1 + 0,10/2)2 – 1 = 0,1025 = 10,25%. Ако дадем 100 лв, в края на годината ще имаме 110,25 лв.
    Обещавайки ни 1/2 от 10% на всеки 6 месеца, банката реално ще ни е дала 10,25% за цялата година.
  • Ако искаме да получаим лихвата наведнъж (1 порция в края на годината), тогава ефективната годишна лихва е r = (1 + 0,10/1)1 – 1 = 0,10 = 10%. Ако дадем 100 лв, в края на годината ще имаме 110 лв.
    Обещавайки ни 1/1 от 10% на за 12-те месеца, банката реално ще ни е дала 10% за цялата година.

А! Както личи и от общата формула при n=1 (за всяко i), така и от примера с i=10% при n=1, номиналната годишна лихва съвпада с ефективната, ако я получим наведнъж в края на годината.

Номинална годишна лихва се нарича лихвата, която ще получите по това обещание, ако и реално ви се начисли наведнъж на една порция в края на годината.

От горния пример обаче личи, че за нас е по-изгодно да си получаваме лихвата възможно по-често!
Какво би станало, ако получаваме лихва всеки ден?
Годината съдържа 365 дни, значи ефективната годишна лихва е r = (1 + 0,10/365)365 – 1 = 0,1051578… = 10,5%.
Хм, увеличихме броя порции на стотици, а пък изгодата ни не нарасна особено.
Но пък ако искаме да ни начисляват лихва всяка минута?
Или всяка секунда?
Дали няма да станем милионери?

За съжаление това няма да ни помогне много. Висшият математически анализ доказва, че с увеличаването на броя порции n, стойността на:
(1 + i/n)n – 1
расте все по-бавно и по-бавно, и никога не може да надвиши следното число:
ei
където буквата e обозначава една универсална математическа константа, която има стойност около 2,78. Тази константа има няколко имена — число на Ойлер, неперово число или просто “числото e”. Можете да мислите за нея като за нещо подобно на числото “пи” — тя е също толкова “вградена” в математиката, колкото и “пи”.

Т.е. ако банката ви обещава номинална годишна лихва 10%, ако ще и всяка милисекундата да ви начислява лихва, общият ефект няма да надхвърли числото:
e0,10
което е 0,1076549… = 10,77%.
Ако дадете 100 лв в началото, след всичките милисекунди в годината няма как да получите повече от 110,77 лв в края на годината.
Агентът си е вързал гащите, че няма да станете милионери за негова сметка.

При всичките ни уважения към висшата математика обаче, неизбежното закръгляне на паричните суми може да заличи цялата полза от издребняването на периода.
Да вземем например 10% номинална годишна лихва, която се начислява всеки ден — 365 порции в годината.
Тогава лихвеният процент за деня е 10%/365.
Ако дадете 100 лв, в края на първия ден трябва да получите:
100 лв * (1 + 0,10/365)
което прави
100,0002739726… лв
но като се закръгли до стотинки, остава:
100,00 лв.
В края на втория ден ще имате същата сметка, и пак ще си останете със 100 лв и така всеки ден, в края на годината ще се окажете пак със 100 лв.
За да се преборите с ефекта от закръглянето, ще трябва да да дадете примерно поне 10 000 лв. Срещу тях в края на първия ден ще получите 10 000,03 лв и ще имате някакъв сигурен растеж до края на годината.
Пресмятането и закръглянето на толкова дребни периоди ще доведе до чудовищен обем счетоводство за банката и никой няма да ви предложи такава сделка.

Заключение

Номиналната годишна лихва i е твърдо обещана процентна стойност. Според избрания от вас брой периоди n в годината, получавате като i/n процента в края на всеки от периодите.

Реалната сума, което получавате в края на всеки от уговорените периоди през годината, се закръгля до стотинки. Лихвата за всеки следващ период се начислява върху закръглената сума от предишния период и сама по себе си се закръгля.

Ефективната годишна лихва дава представа каква сума ще ви даде обещанието i/n за всеки период като общ ефект в края на годината. С увеличаването на броя периоди ефективната лихва расте все по-слабо над номиналната. Ефективната лихва/сума се смята по “идеална” формула и може да се различава от реалната поради ефектите на споменатите закръгляния. При по-голяма началната сума, такива разлики ще са по-незначителни на неин фон.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s