Натрупване с лихви върху редовни вноски

Както вече споменахме, при номинална годишна лихва i и избран брой периоди на олихвяване n в годината, при вложена сума P в началото, в края на j-тия период имаме натрупана сума:

[1] A = P * (1+i/n)j

Да си представим сега, че не само редовно ви се трупа лихва, но заедно с това влагате допълнително сума P със същата редовност.
Как при това положение расте натрупваната сума?

Конкретен пример

“Класическата” ситуация е, че в началото давате сумата P = 100 лв при номинална лихва i=10%=0,1, която се трупа в края на всеки месец (т.е. на n=12 порции през годината).

Формулата [1] ни казва, че от това начално вложение:

  1. в края на първия месец (j=1) имаме
    A1 = P * (1+i/n)j =100 * (1 + 0,1/12) лв = 100,83 лв;
  2. в края на първия месец (j=2) имаме
    A2 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)2 лв = 101,67 лв;
  3. … и т.н. …
  4. в края на 12-я месец (j=12) имаме
    A12 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)12 лв = 110,47 лв;

Тази класическа ситуация променяме така:
В края на първия месец добавяме още толкова P = 100 лв;
В края на втория месец добавяме още толкова P = 100 лв;
И т.н. всеки следващ месец увеличаваме вложението си с P = 100 лв;

Ето как ще изглежда тогава конкретният пример:

  1. В края на 1-я месец (j=1) имаме пак
    A1 = P * (1+i/n)j =100 * (1 + 0,1/12) лв = 100,83 лв;
    Внасяме допълнително 100 лв.
  2. В края на 2-я месец (j=2) имаме:
    A2 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)2 лв = 101,67 лв;
    но поради допълнителните 100 лв от края на първия месец, стоели оттогава 1 месец, добавяме и:
    A1 = P * (1+i/n)j =100 * (1 + 0,1/12) лв = 100,83 лв;
    Внасяме допълнително 100 лв.
  3. … и т.н. …
  4. в края на 12-я месец (j=12) имаме
    A12 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)12 лв = 110,47 лв;
    но също и натрупаното от допълнителните 100 лв вложени в края на 1-я месец (стоели са j=11 месеца):
    A11 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)11 лв = …лв;
    но също и допълнителните 100 лв вложени в края на 2-я месец (стоели са j=10 месеца):
    A10 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)10 лв = …лв;
    … и т.н., докато стигнем и
    но също и допълнителните 100 лв вложени в края на 11-я месец (стоели са j=1 месец):
    A1 = P * (1+i/n)j =100 (1 + 0,1/12)1 лв = …лв;

Обобщен израз

В края на j-тия период, от първата вноска P, която е престояла j периода, ще имаме натрупани:

  • от 1-та вноска P, която е престояла j периода, ще имаме натрупани:
    Aj = P * (1+i/n)j
  • но също и от допълнителните P от 2-та вноска P, която е престояла j-1 периода, ще имаме натрупани:
    Aj-1 = P * (1+i/n)j-1
  • но също и от допълнителните P от 3-та вноска P, която е престояла j-2 периода, ще имаме натрупани:
    Aj-2 = P * (1+i/n)j-2
  • …и т.н.,
  • но също и от допълнителните P от (j-1)-та вноска P, която е престояла 1 период, ще имаме натрупани:
    A1 = P * (1+i/n)1

Да наречем сумата в края на j-тия период с малка буква zj:
zj = Aj + Aj-1 + … + A1

Тоест като заместим:
zj = [P * (1+i/n)j] + [P * (1+i/n)j-1] + … + [P * (1+i/n)]

Единственото смислено опростяване, за което се сещам тук, е да изведем P извън скоби:
zj = P * [ (1+i/n)j +  (1+i/n)j-1 + … + (1+i/n) ]

Макар че няма лесен начин да пресметнете сумата
(1+i/n)j +  (1+i/n)j-1 + … + (1+i/n)
с обикновен калкулатор, все пак може да се напише процедура/функция на програмен език, която да се вика с параметри i, n, j.

Много е възможно специализирани калкулатори или софтуер като Microsoft Excel или OpenOffice.org Calc да имат такива вградени функции.

Ето и още няколко пренаписвания на същата формула за края на всяка година, да наречем това количество с главна буква Z:

  • В края на 1-та година (j = n):
    Z1 = zn = P * [ (1+i/n)n +  (1+i/n)n-1 + … + (1+i/n) ]
  • В края на 2-та година (j = 2n):
    Z2 = z2n = P * [ (1+i/n)2n +  (1+i/n)2n-1 + … + (1+i/n) ]
  • и т.н.

Ако вноските/лихвите са всеки месец (n = 12 периода в годината), тогава

  • В края на 1-та година (j = n = 12):
    Z1 = z12 = P * [ (1+i/12)12 +  (1+i/12)11 + … + (1+i/12) ]
  • В края на 2-та година (j = 2n = 24):
    Z2 = z24 = P * [ (1+i/12)24 +  (1+i/12)23 + … + (1+i/12) ]
  • и т.н.
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s